Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables by C. Laurent-Thiébaut

By C. Laurent-Thiébaut

Laurent-Thiébaut C. Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. Une creation (EDP Sciences, 1997)(ISBN 2868833799)(O)(258s)

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Remarque: Notons que si T E Vb(X)est un courant à support compact on peut donner un sens à (T,$)pour toute forme différentielle 1c, de classe C" sur X et de degré p . En effet il suffit de considérer une fonction x de classe C" sur X à support compact telle que x soit égale à 1 sur un voisinage du support de T et de poser (T,$)= (T,XQ). Écriture locale d'un courant Soient (U,h)une carte de X et Considérons l'expression (XI, . . ,xn) les coordonnées locales associées. IIl=p où TI est un courant de dimension n sur U et, si I = (il, .

Démonstration. Raisonnons par l'absurde. Supposons que U n'est pas dense dans A. I1 existe dors a E A n ûU et une suite ( a u ) v Ede~ points de A \ qui converge vers a. Considérons la suite de fonctions ( & ) v E ~ . gq1 U , d'où la contradiction. 8. Les fonctions Re f et Im f sont harmoniques sur A et par conséquent f est de classec" sur A. Démonstration. D'après le Théorème de Stone-WeierstraR, toute fonction continue f sur d A est limite uniforme sur d A de polynômes trigonométriques : Pn f = Qn = lim Q n ( 0 ) où n+m k=- P n Pn Alors Re Q n ( 0 ) = ak,n ck,neiks cos k0 + bk,, sin k0 avec ak,n,bk,n E R et si on pose k=O Pn Pn(z)= Re( f - (ak,n - ibk,,)zk, on obtient Re(Pn(z)) = ReQn(0) pourz = eis et k=O P,) converge uniformément vers û sur ûA.

N} et &(I,CI)est la signature de la permutation qui envoie (1, . . ,n) sur ( i l ,’ . , i p , j l , ’ . ‘ , j n - p ) . < . 2). En effet si on pose, pour I = (il, . . ,ip), (T~,cpdzlA . . 2). 5. Si T est un courant de dimension p sur une variété différentiable de dimension n, le nombre ( n - p ) est appelé degré du courant T . On note D’q(X) l’ensemble des courants de degré q sur X . Nous venons de prouver qu’un courant de degré q sur X s’écrit localement comme une forme différentielle de degré q dont les coefficients sont des courants de degré O.

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