Matrizenrechnung in der Betriebswirtschaft: Grundlagen und by Friedrich Vogel

By Friedrich Vogel

Das vorliegende Buch ist hervorgegangen aus einer Lehrveranstaltung, die ich an der Universität zu Köln hielt. Seine endgültige Fassung wurde mitbestimmt von Diskussionen mit und Fragen von den Teilneh­ mern. Daraus ergab sich quick zwangsläufig eine Zweiteilung des Buches in die Grundlagen der Matrizenrechnung einerseits und in ihre Anwen­ dungen in der Betriebswirtschaft andererseits. Im ersten Teil des Buches werden Kenntnisse über Matrizen und Matrizenoperationen vermittelt. Dabei werden im wesentlichen nur die Gebiete der Matrizenrechnung behandelt, die zum Verständnis der im zweiten Teil dargestellten Anwendungsmöglichkeiten in der Betriebs­ wirtschaft benötigt werden. Speziellere Verfahren, wie zum Beispiel die Behandlung von Eigenwertproblemen, werden daher ausgeklammert. Ich habe darauf Wert gelegt, die Grundlagen der Matrizenrechnung in systematischer, knapper und doch verständlicher shape darzulegen. Zahlreiche Beispiele sollen zur Veranschaulichung beitragen. Auf umfangreiche mathematische Beweise und Herleitungen wird - von Ausnahmen abgesehen - bewußt verzichtet, da hierzu bereits ausrei­ chend Literatur vorhanden ist. Sie werden nur insoweit vorgetragen, als sie zum Verständnis erforderlich sind. Übermatrizen und speziell dafür vorgesehenen Inversionsverfahren ist ein eigenes Kapitel gewid­ met, weil in der Literatur oft mit Übermatrizen gearbeitet wird und weil Matrizen betrieblicher Produktionssysteme, wenn diese in Sub­ systeme zerfallen, häufig als Übermatrizen dargestellt werden. Eine Erweiterung der Grundkenntnisse erfolgt im Zusammenhang mit prak­ tischen Problemen.

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Das vorliegende Buch ist hervorgegangen aus einer Lehrveranstaltung, die ich an der Universität zu Köln hielt. Seine endgültige Fassung wurde mitbestimmt von Diskussionen mit und Fragen von den Teilneh­ mern. Daraus ergab sich quick zwangsläufig eine Zweiteilung des Buches in die Grundlagen der Matrizenrechnung einerseits und in ihre Anwen­ dungen in der Betriebswirtschaft andererseits. Im ersten Teil des Buches werden Kenntnisse über Matrizen und Matrizenoperationen vermittelt. Dabei werden im wesentlichen nur die Gebiete der Matrizenrechnung behandelt, die zum Verständnis der im zweiten Teil dargestellten Anwendungsmöglichkeiten in der Betriebs­ wirtschaft benötigt werden. Speziellere Verfahren, wie zum Beispiel die Behandlung von Eigenwertproblemen, werden daher ausgeklammert. Ich habe darauf Wert gelegt, die Grundlagen der Matrizenrechnung in systematischer, knapper und doch verständlicher shape darzulegen. Zahlreiche Beispiele sollen zur Veranschaulichung beitragen. Auf umfangreiche mathematische Beweise und Herleitungen wird - von Ausnahmen abgesehen - bewußt verzichtet, da hierzu bereits ausrei­ chend Literatur vorhanden ist. Sie werden nur insoweit vorgetragen, als sie zum Verständnis erforderlich sind. Übermatrizen und speziell dafür vorgesehenen Inversionsverfahren ist ein eigenes Kapitel gewid­ met, weil in der Literatur oft mit Übermatrizen gearbeitet wird und weil Matrizen betrieblicher Produktionssysteme, wenn diese in Sub­ systeme zerfallen, häufig als Übermatrizen dargestellt werden. Eine Erweiterung der Grundkenntnisse erfolgt im Zusammenhang mit prak­ tischen Problemen.

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A- 1 -rechts- CB XAA - 1 = C BA - 1 CBA- 1 x oder nur von links AX = DF A -1 AX - ~ = / . i DF -links- - (4) Beide Seiten einer Matrizengleichung dürfen transponiert werden: x X' = A = A' (5) Beide Seiten einer Matrizengleichung dürfen unter der Bedingung, daß auf jeder Gleichungsseite eine quadratische Matrix steht, invertiert werden: X-I (E BC)-l X (E BC) (6) Beide Seiten einer Matrizengleichung dürfen schließlich, wenn das Verknüpfungsergebnis jeweils ein Vektor ist, in Diagonalmatrizen umgewandelt werden: Ab = x Eine allgemeine Lösung von Matrizengleichungen, d.

Dabei ist natürlich vorausgesetzt, daß auch die korrespondierenden Untermatrizen vom gleichen Typ sind. (3,3) ist also ~ ~ 1 A +B -11 +B -111-12 -12 ~( 3, 3) + ~(3, 3) = ~ (3, 3) A ~B -IA~B-21 -21 1 -22 -22 Analog den bekannten Regeln der Matrizenmultiplikation wird auch das Produkt verkettbarer Übermatrizen gebildet. Die Untermatrizen werden formal so behandelt, als ob sie Zahlen seien. Es gilt also A B -(rn, nF(n, p) =C -(rn, p) mit der Verknüpfungsvorschrift für die Untermatrizen C = -ko s '\' A 1= 1 B -kl-lo ( k=1'2, ...

M) -1 = ~ -1 ... ~ -1 ~ -1 ~ -1 . Zum Abschluß dieses Kapitels möchte ich noch einmal, und zwar an Hand eines Beispiels, auf lineare Transformationen und auf ihre Hintereinanderschaltung eingehen. Als lineare Transformation wurde die Beziehung Ax 42 l bezeichnet, weil der Vektor x mittels der Transformationsmatrix A in den Vektor r transformiert wird. ) hergestellt. Die folgenden Tabellen veran1 schaulichen die Beziehungen zwischen Einsatz- und Ausstoßgrößen in den beiden Verarbeitungsstufen in Mengeneinheiten (ME).

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