Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen: by Esther Brunner

By Esther Brunner

​Argumentieren, Begründen und Beweisen sind zentrale mathematische Tätigkeiten, deren Wichtigkeit für den Mathematikunterricht unbestritten ist. Im Zusammenhang mit Kompetenzmodellen und Bildungsstandards werden diese Begriffe allerdings unterschiedlich verwendet. Im vorliegenden Werk wird deshalb zunächst geklärt, was once unter einem Beweis zu verstehen ist, welche Merkmale ein solcher aufweist, welche Typen von Beweisen zur Verfügung stehen und wie sich Beweisen zum Begründen und Argumentieren verhält. Aus kognitionspsychologischer Sicht wird aufgezeigt, wie das Denken beim mathematischen Begründen und Beweisen verläuft und in welche Formen von Gewissheit es mündet. Darauf aufbauend werden spezifische Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern beim Begründen und Beweisen vorgestellt. Diesem wird unterstützendes pädagogisches und didaktisches Handeln der Lehrperson gegenübergestellt. In einem letzten Kapitel wird an einem ausführlichen Unterrichtsbeispiel gezeigt, wie eine Lehrperson diesen anspruchsvollen Prozess des Beweisens in einer Klasse anregt und fachlich unterstützt.

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​Argumentieren, Begründen und Beweisen sind zentrale mathematische Tätigkeiten, deren Wichtigkeit für den Mathematikunterricht unbestritten ist. Im Zusammenhang mit Kompetenzmodellen und Bildungsstandards werden diese Begriffe allerdings unterschiedlich verwendet. Im vorliegenden Werk wird deshalb zunächst geklärt, was once unter einem Beweis zu verstehen ist, welche Merkmale ein solcher aufweist, welche Typen von Beweisen zur Verfügung stehen und wie sich Beweisen zum Begründen und Argumentieren verhält. Aus kognitionspsychologischer Sicht wird aufgezeigt, wie das Denken beim mathematischen Begründen und Beweisen verläuft und in welche Formen von Gewissheit es mündet. Darauf aufbauend werden spezifische Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern beim Begründen und Beweisen vorgestellt. Diesem wird unterstützendes pädagogisches und didaktisches Handeln der Lehrperson gegenübergestellt. In einem letzten Kapitel wird an einem ausführlichen Unterrichtsbeispiel gezeigt, wie eine Lehrperson diesen anspruchsvollen Prozess des Beweisens in einer Klasse anregt und fachlich unterstützt.

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Unterschieden wird in der Folge zwischen Problemtypen, die aus der reinen Mathematik stammen, und solchen aus dem Bereich der Anwendung bzw. aus realweltlichen Kontexten. In beiden Fällen ist eine Transformation des vorhandenen Wissens notwendig, um die neue Situation bewältigen zu können. Diese Transformation geht in der Regel einher mit Problemlösen- bzw. hier mit Begründungskompetenzen. Inwiefern sich Begründen vom Problemlösen abgrenzen lässt, bleibt hier wiederum offen. 2 Argumentieren, Begründen und Beweisen in der PISA-Konzeption In der internationalen Vergleichsstudie PISA OECD (2003, 2006) werden mathematische Fähigkeiten auf der Basis von mathematischer Grundbildung („mathematical literacy“) konzipiert, nämlich als die Fähigkeit einer Person, die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des Lebens dieser Person als konstruktivem engagierten und reflektierendem Bürger entspricht.

2 aufgeführten Beispiel wird das Denken mittels Markierungen anschaulich gemacht; Leiss und Blum (2006) würden von einem Paradigma sprechen. Eine formal-symbolische algebraische Notation hingegen ist nicht gegeben. Gleichwohl konnte mithilfe des inhaltlich-anschaulichen Vorgehens ein Beweis erzeugt werden, der Einsicht in die untersuchte Struktur ermöglicht. Zudem handelt es sich um ein iteratives Vorgehen, weil gezeigt wird, dass eine Behauptung notwendigerweise für jedes weitere mögliche Beispiel des gleichen Musters gilt.

Konserviert. Deduktives Begründen wird in der Literatur recht einheitlich beschrieben und basiert auf logisch strukturierten Argumenten (vgl. 5). Logische Schlüsse können dabei zu neuen Erkenntnissen führen und tragen damit zur Expansion von 42 3 Argumentieren, Begründen und Beweisen Wissen bei. Und nicht zuletzt stellt der Rückgriff auf ein deduktives Verfahren die einzige Möglichkeit dar, etwas mit intersubjektiver oder quasi-objektiver Sicherheit zu begründen. Induktives Begründen hingegen wird in der Literatur nicht konsistent beschrieben.

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