Mathematics of Biology by Kennet L. Cooke (auth.), Mimmo Iannelli (eds.)

By Kennet L. Cooke (auth.), Mimmo Iannelli (eds.)

K.L. Cooke: hold up differential equations.- J.M. Cushing: Volterra integrodifferential equations in inhabitants dynamics.- K.P. Hadeler: Diffusion equations in biology.- S. Hastings: a few mathematical difficulties coming up in neurobiology.- F.C. Hoppensteadt: Perturbation tools in biology.- S.O. Londen: vital equations of Volterra type.

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By Kennet L. Cooke (auth.), Mimmo Iannelli (eds.)

K.L. Cooke: hold up differential equations.- J.M. Cushing: Volterra integrodifferential equations in inhabitants dynamics.- K.P. Hadeler: Diffusion equations in biology.- S. Hastings: a few mathematical difficulties coming up in neurobiology.- F.C. Hoppensteadt: Perturbation tools in biology.- S.O. Londen: vital equations of Volterra type.

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Multiparameter Eigenvalue Problems and Expansion Theorems

This publication offers a self-contained therapy of 2 of the most difficulties of multiparameter spectral conception: the lifestyles of eigenvalues and the growth in sequence of eigenfunctions. the consequences are first received in summary Hilbert areas after which utilized to indispensable operators and differential operators.

Séminaire Bourbaki, Vol. 1, 1948-1951, Exp. 1-49

Desk of Contents

* 1 Henri Cartan Les travaux de Koszul, I (Lie algebra cohomology)
* 2 Claude Chabauty Le théorème de Minkowski-Hlawka (Minkowski-Hlawka theorem)
* three Claude Chevalley L'hypothèse de Riemann pour les corps de fonctions algébriques de caractéristique p, I, d'après Weil (local zeta-function)
* four Roger Godement Groupe complexe unimodulaire, I : Les représentations unitaires irréductibles du groupe complexe unimodulaire, d'après Gelfand et Neumark (representation idea of the advanced particular linear group)
* five Léo Kaloujnine Sur l. a. constitution de p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis et de quelques généralisations infinies de ces groupes (Sylow theorems, symmetric teams, endless workforce theory)
* 6. Pierre Samuel los angeles théorie des correspondances birationnelles selon Zariski (birational geometry)
* 7 Jean Braconnier Sur les suites de composition d'un groupe et los angeles journey des groupes d'automorphismes d'un groupe fini, d'après H. Wielandt (finite groups)
* eight Henri Cartan, Les travaux de Koszul, II (see 1)
* nine Claude Chevalley, L'hypothèse de Riemann pour les groupes de fonctions algébriques de caractéristique p, II,, d'après Weil (see 3)
* 10 Luc Gauthier, Théorie des correspondances birationnelles selon Zariski (see 6)
* eleven Laurent Schwartz, Sur un mémoire de Petrowsky : "Über das Cauchysche challenge für ein procedure linearer partieller Differentialgleichungen im gebiete nichtanalytischen Funktionen" (partial differential equations)
* 12 Henri Cartan, Les travaux de Koszul, III (see 1)
* thirteen Roger Godement, Groupe complexe unimodulaire, II : los angeles transformation de Fourier dans le groupe complexe unimodulaire à deux variables, d'après Gelfand et Neumark (see 4)
* 14 Marc Krasner, Les travaux récents de R. Brauer en théorie des groupes (finite groups)
* 15 Laurent Schwartz, Sur un deuxième mémoire de Petrowsky : "Über das Cauchysche challenge für approach von partiellen Differentialgleichungen" (see 11)
* sixteen André Weil Théorèmes fondamentaux de los angeles théorie des fonctions thêta, d'après des mémoires de Poincaré et Frobenius (theta functions)
* 17 André Blanchard, Groupes algébriques et équations différentielles linéaires, d'après E. Kolchin (differential Galois theory)
* 18 Jean Dieudonné, Géométrie des espaces algébriques homogènes, d'après W. L. Chow (algebraic geometry)
* 19 Roger Godement, Sommes maintains d'espaces de Hilbert, I (functional research, direct integrals)
* 20 Charles Pisot, Démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers, d'après Selberg et Erdös (prime quantity theorem)
* 21 Georges Reeb, Propriétés des trajectoires de certains systèmes dynamiques (dynamical systems)
* 22 Pierre Samuel, Anneaux locaux ; advent à los angeles géométrie algébrique (local rings)
* 23 Marie-Hélène Schwartz, Compte-rendu de travaux de M. Heins sur diverses majorations de los angeles croissance des fonctions analytiques et sous-harmoniques (complex research, subharmonic functions)
* 24 Charles Ehresmann, Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable (connections on fiber bundles)
* 25 Roger Godement, Sommes keeps d'espaces de Hilbert, II (see 19)
* 26 Laurent Schwartz, Sur un mémoire de okay. Kodaira : "Harmonic fields in riemannian manifolds (generalized capability theory)", I (Hodge theory)
* 27 Jean-Pierre Serre, Extensions de groupes localement compacts, d'après Iwasawa et Gleason (locally compact groups)
* 28 René Thom, Les géodésiques dans les variétés à courbure négative, d'après Hopf (geodesics)
* 29 Armand Borel, Groupes localement compacts, d'après Iwasawa et Gleason (see 27)
* 30 Jacques Dixmier, Facteurs : type, measurement, hint (von Neumann algebras)
* 31 Jean-Louis Koszul, Algèbres de Jordan (Jordan algebras)
* 32 Laurent Schwartz, Sur un mémoire de okay. Kodaira : "Harmonic fields in riemannian manifolds (generalized strength theory)", II (see 26)
* 33 Armand Borel, Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie, d'après Cartan, Iwasawa et Mostow (maximal compact subgroups)
* 34 Henri Cartan, Espaces fibrés analytiques complexes (analytic geometry, fiber bundles)
* 35 Charles Ehresmann, Sur les variétés presque complexes (almost-complex manifolds)
* 36 Samuel Eilenberg, Exposition des théories de Morse et Lusternick-Schnirelmann (Morse idea, Lyusternik-Schnirelmann category)
* 37 Luc Gauthier, Quelques variétés usuelles en géométrie algébrique (algebraic geometry)
* 38 Jean-Louis Koszul, Cohomologie des espaces fibrés différentiables et connexions (Chern-Weil theory)
* 39 Jean Delsarte, Nombre de strategies des équations polynomiales sur un corps fini, d'après A. Weil (Weil conjectures)
* forty Jacques Dixmier, Anneaux d'opérateurs et représentations des groupes (operator algebras, illustration theory)
* forty-one Roger Godement, Théorie des caractères dans les groupes unimodulaires (unimodular groups)
* forty two Pierre Samuel, Théorie du corps de periods neighborhood selon G. P. Hochschild (local category box theory)
* forty three Laurent Schwartz, Les théorèmes de Whitney sur les fonctions différentiables (singularity theory)
* forty four Jean-Pierre Serre, Groupes d'homotopie (homotopy groups)
* forty five Armand Borel, Cohomologie des espaces homogènes (cohomology of homogeneous areas of Lie groups)
* forty six Samuel Eilenberg, Foncteurs de modules et leurs satellites, d'après Cartan et Eilenberg (homological algebra)
* forty seven Marc Krasner, Généralisations non-abéliennes de los angeles théorie locale des corps de periods (local fields)
* forty eight Jean Leray, los angeles résolution des problèmes de Cauchy et de Dirichlet au moyen du calcul symbolique et des projections orthogonales et obliques (Dirichlet difficulties and Cauchy difficulties for partial differential equations, symbolic calculus)
* forty nine Pierre Samuel, Sections hyperplanes des variétés normales, d'après A. Seidenberg (algebraic geometry, hyperplane sections, common kind)

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Example text

F a> 0 e -At x(t)dt Then one can easily derive the equation where p(A,$) - $(0) + fO dn(6) -r Moreover, it can be proved that fO eA(6 -U)~(u)du. 6 ~-l(A) is a Laplace transform, ~ 0, (-r,O). 2) and Y(t) Y(t): 0 for t ~ = O. I + f: Y(t-u)n(-u)du, t Also, the following representation theorem holds for the solution of Eq. 3) x(t) 0, > = Y(t)~(O) + It Y(t-u) o Furthermore. since the function Y(t) I- u -r on ~ [-r,O]. dn(e)~(u+e)du, t > O. 4) L =I + j-l hj(t) where nl (u) • n(-u) and hj(t) is the j-fold convolution of provides an explicit formula for tures .

3) for RFDE's were proved without using the Laplace transform by Banks (1969), correcting Halanay (1966). The formulas given above are taken from Kappel (1976a), where the derivation includes neutral FDE's. Another explicit solution formula has been found by McCalla (1976). Also, the Laplace transform method is useful in constructing solutions in the form of infinite series; see Bellman and Cooke (1963), Anderson (1972), and Banks and Manitius (1975). 9. Stability by linearization One of the basic elementary ways to determine the (local) stability of an equilibrium point is to linearize the system in a neighborhood of this point.

1. ,+ , if and f B is any bounded set in takes C. are continuous nondecreasing functions satis- ~ v(s) > 0 n f(t ;O)"' 0, for there is a continuous function s > 0, and V:B x C + B u(O)"' v(O) O. Assume that such that (11. 4) for t E B, stable. bounded . If If

0, then the solution x =0 is uniformly asymptotically stable. 1 for asymptotic stability was proved by Krasovskii (1959). See Krasovskii and Yoshizawa (1966), for extensive discussion of stability and instability theorems, and other aspects of Liapunov theory.

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