Introduction au raisonnement mathématique - logique et by Jean-Claude Dupin, Jean-Luc Valein

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0 Donnons maintenant quelques exemples pour illustrer notre propos. • Pour l'ordre usuel, IR n'a ni majorant, ni minorant. lJi n'est pas majoré (donc lJi n'a pas de plus grand élément), mais admet un plus petit élément qui est 0; d'ailleurs toute partie non vide de lJi admet un plus petit élément 1• L'intervalle réel )2, +00 [ possède. dans IR, une borne inférieure qui est 2, et ne possède pas de plus petit élément. ~) est bien ordonné ou que S est un bon ordre sur IN. On démontre, que tout ensemble E (en particulier IR) peut être bien ordonné (théorème de Zermelo (E.

Deux couples (x, y) et (x', y') sont égaux si et seulement si on a (x .. x' et y = y') 2. Si A et B sont des parties respectivemeht de E et de F, on a : A x B .. {(a, b) fausse on a : E Ex F / a AxB= 0 E ~ A et b E B}; puisque (x E 0) est une "assertion" (A :: 0 ou B .. 0). • En comme l'ensemble des n-uplets (Xl, x2, ... , xn) où chaque ~ est un élément quelconque de Ei; on le note E 1 x E2 X x E2 x ... x En = {(Xl. X2, ... , xo> 1 Vi E ... X En et on a : {1, 2, ... , nI, XiE Ed. L'égalité de deux n-uplets se définit par l'égalité entre les éléments de même El = E2 .....

A partir des valeurs 0(1) = 1, 0(2) = 4 et 0(3) = 9 on peut avoir l'idée (démarche inductive1) que O(n) = n2 . Synthèse. 4, page 51). 0 2- solution Remarquons que: O(n) = et O(n) = D'où 2 O(n) 1 1+ (2 3 + 5 + ... + (2 n - 1) n - 1) + (2 n ·3) + (2 n ·5) + ... + 1 n. 2 n Une démarche inductive consiste à inférer à partir d'informations limitées. 0 Dans cette deuxième solution, l'analyse, par chance, fournit directement 12 solution. L'analyse, ici, n'a pas à être rêdigée. Maintenant, si on remplace le problèllie initial par : Montrer que pour tout n e Il( 1 + 3 + 5 + ...

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