Algèbre. / Tome 1, Groupes, corps et théorie de Galois by Daniel Guin; Thomas Hausberger

By Daniel Guin; Thomas Hausberger

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En déduire que H n’est pas isomorphe à un sous-groupe de S4 . Montrer, par la même méthode, que H n’est pas isomorphe à un sous-groupe de S7 . Par conséquent, l’entier n minimal tel que H soit isomorphe à un sousgroupe de Sn est n = 8 = |H|. 3. 3. Produit direct de groupes A - Produit de sous-groupes d’un groupe Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On considère les parties de G, HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K} et KH = {kh, k ∈ K, h ∈ H}, où le produit est la loi de G. 1. En général, ces deux parties de G ne sont pas égales et ne sont pas des sous-groupes de G.

L’application F : G −→ SG , g −→ fg est un morphisme de groupes. En effet F (gh) est l’application de G dans G qui à x associe ghx. Comme ghx = g(hx), cet élément est aussi l’image de x par l’application F (g) ◦ F (h). On en déduit que F (gh) = F (g) ◦ F (h). De plus, F est injective. En effet, si F (g) est égal à l’identité, pour tout x de G on a gx = x, d’où g = 1G , où 1G est l’élément neutre de G, et Ker(F ) = {1G }. Par conséquent, F est un isomorphisme de G sur son image F (G), qui est un sous-groupe de SG .

D’autre part, il existe un unique j ∈ J tel que k ∈ Hyj , d’où g appartient à Hyj xi . On en déduit que G = (i,j)∈I×J (Hyj xi ). 1. Les ensembles Hyj xi , (i, j) ∈ I × J, forment une partition de G. 2. Compatibilité avec la structure Démonstration. Supposons que Hyj xi = Hyj xi , alors KHyj xi = KHyj xi . Mais, puisque H ⊆ K, on a KH = K et KHyj = Kyj = K, car yj ∈ K. De la même manière, KHyj = K. On en déduit que Hyj xi = Hyj xi implique Kxi = Kxi et, puisque les Kxi forment une partition de G, que i = i.

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